Área de Polígonos

友達とハロー

Nesta postagem irei ensinar a vocês algumas técnicas de como se calcular a área de algumas figuras geométricas conhecidas como polígonos. Porém, mais importante do que isso será o treinamento que obteremos em se desenvolver fórmulas matemáticas elaboradas a partir de princípios simples e gerais, levando adiante o espírito descrito na postagem anterior. Assim, antes de mais nada precisamos de uma definição simples e poderosa do conceito geométrico área. Vamos a ele!

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Definição de Área

Imagine-se defronte ao seguinte dilema: você decidiu trocar o velho carpete do seu apartamento por um novíssimo e elegante carpete de madeira. Tudo o que você precisa saber antes de se dedicar ao problema de escolher que tipo de carpete quer é quantas placas de carpete você precisará comprar (caso não esteja familiarizado com carpetes de madeira, imagine trocando cada azulejo do chão de uma sala por uma placa de madeira com o mesmo formato e você terá uma idéia sobre o que estou falando). Digamos que você seja esperto e desenvolva o seguinte raciocínio: “contarei quantos azulejos eu tenho embaixo do carpete antigo e simplesmente comprarei a mesma quantidade de placas de madeira”. Esta artiminha irá funcionar se você comprar placas de madeira do tamanho exato dos azulejos originais, caso contrário você experimentar uma desagradável frustração ao notar que o número de azulejos e placas necessária não coincidem. O que fazer então ?

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Contando azulejos

Uma análise mais detalhada do problema nos revelará que, caso alguém saiba quantos azulejos cabem numa placa de madeira, o número de placas necessárias para o preenchimento da sala será simplesmente o número de azulejos necessário para o preenchimento da mesma dividido pelo número de azulejos em cada placa (é um problema análogo ao problema de se descobrir quantos times de futebol eu consigo montar dispondo de um certo número de pessoas). Assim, todo o problema se reduz ao problema de se saber quantos azulejos eu possuo na sala e nas placas de madeira e dividir uma quantidade pela outra para se saber quantas placas de madeira cabem na sala !

Resta-nos, pois, o problema de calcularmos quantoas azuejos de um determinado tamanho (qualquer tamanho que seja !) cabem em uma superfície. Notem como não importa o tamanho ou formato deste azulejo intermediário. A resposta final, quantas placas de madeira cabem na sala, não dependerá do azulejo-teste que utilizamos no cálculo do processo. Assim sendo, a maneira mais esperta de abordarmos o problema é escolhermos um azulejo teste que possua uma área que torne o processo de contagem o mais simplificado possível. Percebam como um quadrado de lado igual a uma unidade de comprimento (ou seja, a unidade que estamos utilizando para medir distâncias, seja ela milímetros, centímetros, metros, quilômetros, etc…) resolve o nosso problema:

Área do chão medida em azulejos quadrados de 1 u.c. de lado

É fácil entendermos porque precisamos multiplicar um lado de um retângulo pelo outro lado para obtermos sua área analisando a figura acima e refletindo sobre a natureza do conceito de área. Definiremos área de uma figura como o número de quadrados de uma unidade de comprimento (ångstrons, centímetros, metros, milhas, anos-luz…) de lado necessários para o total preenchimento da mesma. Para contarmos tais quadrados na figura acima, basta contarmos quantos quadrados existem em uma linha (ou coluna) e multiplicarmos pelo número de linhas (ou colunas) existentes. Definindo a unidade de medida da área de um desses quadrados como uma unidade de comprimento ao quadrado (Ų, cm², m², mi², anos-luz²…), teremos que a área do retângulo será justamente o produto de um lado pelo outro, levando em conta as unidade de comprimento !

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Exemplos: Área de diversas figuras geométricas

Já sabemos, do nosso exemplo anterior, como calcular a área de um retângulo (e o caso especial onde seus lados são iguais, também conhecido como quadrado). Utilizando tal conhecimento restrito iremos obter fórmulas para o cálculo de figuras mais complexas.

Paralelogramo:

Podemos calcular a área de um paralelogramo notando que ela é idêntica à área do retângulo possuidor das mesmas dimensões (base e altura).

Área do paralelogramo obtida pela sua transgormação em retângulo.

Triângulo:

Podemos obter a área de um triângulo notando que sua área é igual à metade da área do retângulo possuidor das mesmas dimensões do triângulo (base e altura).

Área do triângulo retângulo obtido pela sua transformação em retângulo.

Área de um triângulo genérico através de sua subdivisão em dois triângulos retângulos.

Trapézio:

Podemos obter a área de um trapézio notando que ela é idêntica à metade da área do paralelogramo com a mesma altura do trapézio e base igual à soma das bases do trapézio.

Área do trapézio através de sua transformação em paralelogramo.

E nossa lição de hoje acaba por aqui. Tente treinar e consolidar os conhecimentos obtidos através da resolução de alguns exercícios. Tente, ao invés de se lembrar de fórmulas memorizadas, derivá-las novamente sempre que precisar usá-las. Você notará que com o tempo não precisará mais ficar dividindo triângulos e duplicando trapézios sempre que precisar de uma fórmula específica. A fórmula em sua forma final aparecerá claramente em sua mente, cada vez mais rapidamente à medida que o entendimento de sua origem se tornar cada vez mais claro.

頑張って

exercício proposto: Aplique os raciocínios desenvolvidos para tentar encontrar uma expressão para a área de um losango.

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