Área de Polígonos

友達とハロー

Nesta postagem irei ensinar a vocês algumas técnicas de como se calcular a área de algumas figuras geométricas conhecidas como polígonos. Porém, mais importante do que isso será o treinamento que obteremos em se desenvolver fórmulas matemáticas elaboradas a partir de princípios simples e gerais, levando adiante o espírito descrito na postagem anterior. Assim, antes de mais nada precisamos de uma definição simples e poderosa do conceito geométrico área. Vamos a ele!

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Definição de Área

Imagine-se defronte ao seguinte dilema: você decidiu trocar o velho carpete do seu apartamento por um novíssimo e elegante carpete de madeira. Tudo o que você precisa saber antes de se dedicar ao problema de escolher que tipo de carpete quer é quantas placas de carpete você precisará comprar (caso não esteja familiarizado com carpetes de madeira, imagine trocando cada azulejo do chão de uma sala por uma placa de madeira com o mesmo formato e você terá uma idéia sobre o que estou falando). Digamos que você seja esperto e desenvolva o seguinte raciocínio: “contarei quantos azulejos eu tenho embaixo do carpete antigo e simplesmente comprarei a mesma quantidade de placas de madeira”. Esta artiminha irá funcionar se você comprar placas de madeira do tamanho exato dos azulejos originais, caso contrário você experimentar uma desagradável frustração ao notar que o número de azulejos e placas necessária não coincidem. O que fazer então ?

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Contando azulejos

Uma análise mais detalhada do problema nos revelará que, caso alguém saiba quantos azulejos cabem numa placa de madeira, o número de placas necessárias para o preenchimento da sala será simplesmente o número de azulejos necessário para o preenchimento da mesma dividido pelo número de azulejos em cada placa (é um problema análogo ao problema de se descobrir quantos times de futebol eu consigo montar dispondo de um certo número de pessoas). Assim, todo o problema se reduz ao problema de se saber quantos azulejos eu possuo na sala e nas placas de madeira e dividir uma quantidade pela outra para se saber quantas placas de madeira cabem na sala !

Resta-nos, pois, o problema de calcularmos quantoas azuejos de um determinado tamanho (qualquer tamanho que seja !) cabem em uma superfície. Notem como não importa o tamanho ou formato deste azulejo intermediário. A resposta final, quantas placas de madeira cabem na sala, não dependerá do azulejo-teste que utilizamos no cálculo do processo. Assim sendo, a maneira mais esperta de abordarmos o problema é escolhermos um azulejo teste que possua uma área que torne o processo de contagem o mais simplificado possível. Percebam como um quadrado de lado igual a uma unidade de comprimento (ou seja, a unidade que estamos utilizando para medir distâncias, seja ela milímetros, centímetros, metros, quilômetros, etc…) resolve o nosso problema:

Área do chão medida em azulejos quadrados de 1 u.c. de lado

É fácil entendermos porque precisamos multiplicar um lado de um retângulo pelo outro lado para obtermos sua área analisando a figura acima e refletindo sobre a natureza do conceito de área. Definiremos área de uma figura como o número de quadrados de uma unidade de comprimento (ångstrons, centímetros, metros, milhas, anos-luz…) de lado necessários para o total preenchimento da mesma. Para contarmos tais quadrados na figura acima, basta contarmos quantos quadrados existem em uma linha (ou coluna) e multiplicarmos pelo número de linhas (ou colunas) existentes. Definindo a unidade de medida da área de um desses quadrados como uma unidade de comprimento ao quadrado (Ų, cm², m², mi², anos-luz²…), teremos que a área do retângulo será justamente o produto de um lado pelo outro, levando em conta as unidade de comprimento !

Exemplos: Área de diversas figuras geométricas

Já sabemos, do nosso exemplo anterior, como calcular a área de um retângulo (e o caso especial onde seus lados são iguais, também conhecido como quadrado). Utilizando tal conhecimento restrito iremos obter fórmulas para o cálculo de figuras mais complexas.

Paralelogramo:

Podemos calcular a área de um paralelogramo notando que ela é idêntica à área do retângulo possuidor das mesmas dimensões (base e altura).

Área do paralelogramo obtida pela sua transgormação em retângulo.

Triângulo:

Podemos obter a área de um triângulo notando que sua área é igual à metade da área do retângulo possuidor das mesmas dimensões do triângulo (base e altura).

Área do triângulo retângulo obtido pela sua transformação em retângulo.

Área de um triângulo genérico através de sua subdivisão em dois triângulos retângulos.

Trapézio:

Podemos obter a área de um trapézio notando que ela é idêntica à metade da área do paralelogramo com a mesma altura do trapézio e base igual à soma das bases do trapézio.

Área do trapézio através de sua transformação em paralelogramo.

E nossa lição de hoje acaba por aqui. Tente treinar e consolidar os conhecimentos obtidos através da resolução de alguns exercícios. Tente, ao invés de se lembrar de fórmulas memorizadas, derivá-las novamente sempre que precisar usá-las. Você notará que com o tempo não precisará mais ficar dividindo triângulos e duplicando trapézios sempre que precisar de uma fórmula específica. A fórmula em sua forma final aparecerá claramente em sua mente, cada vez mais rapidamente à medida que o entendimento de sua origem se tornar cada vez mais claro.

頑張って

exercício proposto: Aplique os raciocínios desenvolvidos para tentar encontrar uma expressão para a área de um losango.

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39 Comentários

  1. […] para o retângulo e o triângulo representados na figura (tais fórmulas são discutidas aqui) […]

  2. parabens! gostei da explicaçao!!

  3. achei super tudo esse geito d ensinar matemátca queria muiiiito aprender matemática tão rápido quanto o tempo q levei p/ ler.

  4. O caminho para o conhecimento é longo e tortuoso, porém repleto de beleza.

    CItando Fernando Pessoa: “O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso. óóóó—óóóóóó óóó—óóóóóóó óóóóóóóó (O vento lá fora).”

  5. Boa tarde, Muito boa a explicação e demostrações para chegar a fórmula .

    Obrigada .

  6. olá! Eu estou na escola no 8.º ano, não tinha percebido a matéria e depois de ver as vossas explicações, já entendi a matéria! Obrigado!
    ps: pa semana vou fazer teste!

  7. Muito bom! amei! só que é um saco ler tudoo isso! mas eu APRENDI! Oba! sem recuperaçao esse bimestre!!!

  8. eu numca achei esse site ate que fim que eu encrontreo finalmenteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

  9. eu achei bom porque agente descobbbre mais

  10. cara q bixo nojento passei meia hora pesquisando na net isso e encontro aki , cara axei até engrassado como é facil estava rindo aki como vc tornou isso facil kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

  11. Tenho um problema para resolver.
    Devo de descobrir as medidas de três lados de um trapézio onde ele tem uma área de 705,45m², as suas bases são paralelas e formam 2 ângulos reto no trapézio (altura), a base maior mede 32,5m. Como resolvo isso?

    705,45 = (32,5+b)/2 * h

    • Bom, se as bases formam dois ângulos retos, o trapézio deve ser um retângulo. Assim sendo, suas duas bases são iguais:

      705,45 = (35,2+35,2)/2 * h

      h = 705,45 / 35,2

      h = 20,04

  12. Meu Deus !Como eu gostei da sua explicação.Me ajudou muito. Obrigada!

    • Gosteei muitoo dii sua explicaçãao .. Aprendi maais Vleeu ai ; Continuem assim

  13. Meu Deus !Como eu gostei da sua explicação.Me ajudou muito.Foi muito bom encontrar este site. Obrigada!

  14. bom pacaramba aew…

  15. adorei a explicaçao agora eu sei medir a area dos poligonos….vlwwwww

  16. nao itendi bulufas.

  17. Eu gostaria de saber mesmo e a aréa do poligno … =/

    • Qual polígono ? Triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octágono, decágono, dodecágono, …. ?

  18. Que site maravilhoso, com ele consegui concluir o meu trabalho e ficar com a nota máxima . Obrigada .

  19. Noossa eoo noon tenhuu termoos praa faalar o quantoo eoo odeioo Matematiica!!

  20. Noon tenhuu palavras pra dizer o qntoo eoo odeioo matematicaa!

    • Matemática, assim como português, são matérias importantíssimas no desenvolvimento do seu relacionamento com o resto do mundo.

    • Matemática, assim como português, são matérias importantíssimas no desenvolvimento do seu relacionamento com o resto do mundo.

  21. Ameei amor muiito obrigada;
    miil beijos ajudou muuito;

    • eu gostei muito desse site bmer ajudou no meu trabalho

  22. Bom Dia; Boa Tarde e Boa noite eu gostei bastante deste site e me ajudou a fazer o meu trabalho escolar de matemática sobre área de poligonos.

    Eu gostaria e sugeria que deveria ter exercícios eu ficaria muito grato se as mesma existissem pode estar resolvidas ou não resolvidas muito obrigado por hoje é tudo. Adeus e até Breve.

    Comprimentos de Joel; Para Doutor Cuca

  23. ameeeiiiii….. amor obrigada miiillllllll beijios ajudou em muitas coisas

  24. muitosa da hora mesmo me ajundou meuito beijos

  25. muinto legal euestou com us problemas em matematica so tira a parte do carpete la em cima q so atrassa vlw….

  26. esse negoçio do doutor cuca e muito grande eu resumi um pouco se nao enportar claro

  27. muito bom cara valeo

  28. obrigado

  29. Parabéns! Gostei!!!

  30. aiai muito massa essa explicação

  31. como faço para achar o produto da base e altura de um poligono quadricular


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