Sistemas Lineares

Hallo Freunde

Hoje iniciaremos nosso estudo do importantissimo, fascinante e extenso ramo da matemática denominado álgebra. Em última análise, todos os problemas que resolvemos utilizando as ciências exatas, inclusive os problemas resolvidos nas postagens anteriores, possuem como pré-requisitos um conhecimento algébrico básico. Mas, ao final de contas, o que é álgebra ?

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“Dando nome aos bois…”

Suponha que você se depare com o seguinte problema: “Alice faz aniversário no mesmo dia que seu irmão Bob. Este ano eles apagaram juntos 35 velinhas em seu bolo de aniversário. Além disso, Alice sabe de antemão que dentro de 5 anos terá direito a um terço das velinhas de seu bolo. Qual a diferença de idade entre Alice e Bob ?

Em um problema matemático, nem sempre as informações são fornecidas da forma mais simples e direta (ei, quem disse que a vida era fácil ?). Talvez você consiga, apenas lendo o enunciado acima, adivinhar as idades dos irmãos através de um processo de tentativa e erro (sabendo que eles possuem, juntos, 35 anos, você poderia checar cada umas das combinações possiveis, 34 e 1, 33 e 2, 32 e 3, etc…, até encontrar uma que satisfaça todas as informações fornecidas pelo problema). Porém, se este é o único modo que você conhece para resolver esse tipo de problema eu não me surpreenderia se você fugisse de uma prova de matemática como o diabo foge da cruz ! Naturalmente existem jeitos muito mais espertos e divertidos para se abordar tal situação. E é que a álgebra entra. O primeiro passo de nossa tática de guerra será identificar e registrar toda informação fornecida pelo enunciado do problema em linguagem matemática. Para as quantidades desconhecidas do problema, denominadas incógnitas, utilizaremos letras ao invés de números. Teremos então:

Onde A e B representam, respectivamente, as idades de Alice e Bob (com um subindice temporal indicando se nos referimos às idades atuais ou àquelas que eles terão daqui 5 anos). Antes de continuarmos, que tal reescrevermos a segunda equação de uma maneira mais esteticamente agradável aos olhos ?

Assim, nosso pequeno sistema de equações se torna:

(Note que poderíamos ter escrito a segunda equação diretamente se raciocinássemos do seguinte modo: Se Alice do futuro possui um terço das velinhas, Bob do futuro deverá possuir dois terços, ou seja, o dobro de velinhas de Alice.)

Estamos quase prontos para resolver o problema. Note que até agora obtivemos duas equações com cinco incógnitas, ou seja, cinco quantidades desconhecidas ( ). Neste ponto, gostaria de compatilhar com vocês o grande segredo envolvendo a resolução de sistemas de equações: Um sistema necessita ter o mesmo números de equações e incógnitas para poder ser resolvido. Você pode pensar nesta regra como uma espécie de conservação de informações. Para cada incógnita de um problema você precisa de uma informação dada a priori. Se possuirmos mais incógnitas do que dados, sempre poderíamos encontrar infinitas maneiras de ajustá-las de maneira a satisfazer todas as equações dadas. É apenas quando fornecemos a mesma quantidade de restrições que podemos definir unicamente um conjunto de incógnitas.  Felizmente podemos escrever duas de nossas incognitas em função das outras duas:

Assim, teremos finalmente um sistema de equações solúvel:

ou, subtraindo 5 de ambos os lados da segunda equação:

Temos agora um sistema de equações lineares (lineares porque não temos nenhuma incógnita elevada ao quadrado, ao cubo ou nenhuma outra potência…) bem montado e esteticamente agradável que, mais importante de tudo, contém todas as informações dadas pelo enunciado do problema. Estamos prontos para concentrar todos nossos esforços em sua resolução de maneira a encontrarmos os valores das duas incógnitas.

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Recortar (Ctrl+X) e Colar (Ctrl+V)

Uma das maneiras de se resolver o sistema acima é a seguinte:

  1. Utilize umas das equações para escrever uma das incógnitas em função da outra.
  2. Substitua tal incógnita na outra equação.
  3. Encontre o valor exato da segunda incógnita.
  4. Utilize tal valor para encontrar o valor exato da primeira incógnita, utilizando a relação obtida no passo 1.

Ao analisarmos nossa segunda equação, vemos que o passo 1 já foi cumprido. Assim, partimos para o passo dois e subsituímos tal relação na primeira equação:

Para completarmos o passo 3, devemos isolar de um lado da equação nossa incógnita:

Agora, com uma das incógnitas em mãos o nosso problema está prestes a ser resolvido. Basta substituirmos tal valor em qualquer uma das equações originais para encontrarmos o valor de B. Escolherei a segunda:

Pronto ! Descobrimos que Alice possui 10 anos e Bob 25. De fato, juntos eles possuem 35 anos e, daqui a 5 anos, Alice terá 15 anos, metade da idade de Bob, 30 anos e um terço da idade total 45 anos.

E por hoje ficamos  por aqui. Treine você mesmo as técnicas desenvolvidas aqui resolvendo outros problemas, ou crie seus próprios problemas ! Acredite, você terá algumas horas de diversão garantidas enquanto treina seu raciocínio algbébricos para os problemas que o futuro reserva a você.

Viel Glück Freunde

Exercício proposto: Ana, Beto e Carlos a um restaurante comemorar o aniversário de Carlos. Carlos insistiu que pagaria metade da conta. Sabendo que Beto pagou dois terços do valor da conta de Carlos e Ana pagou 50 reais, quanto Beto e Carlos pagaram ? Qual foi o valor total da conta ?

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4 Comentários

  1. […] de Alice e Bob, os irmãos assopradores de velinhas de aniversário ? Vamos relembrar o sistema de equações que resolvemos para encontrarmos suas […]

  2. muito bom esse site legal vou entrar mais veses!!

    beijos pra todos os pessoal!!!

    dai di vcs !!

    fofuxos !!!

  3. Agradecemos a preferência. =)

  4. Realmente gostei muito deste site!!!
    Estou estudando p/ a prova do cefet q é nesse próximo domingo e as explicações estão sendo muito úteis.

    Parabéns!!!


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