Cinemática

Bok Prijatelji

Hoje iremos inaugurar nossa seção de física da maneira mais clássica possível: estudaremos o famoso e elementar ramo da mecânica denominado cinemática. Cinemática é uma palavra derivada do radical grego kinema (movimento). Como o próprio nome sugere, não trata de nada mais nada menos do que do estudo do movimento dos corpos materiais. Importante frisarmos de que ela não trata da causa dos movimentos, apenas da descrição dos mesmos. O estudo da causa dos movimentos dos corpos materiais é objetivo de um outro ramo da mecânica denominado dinâmica. Nos ocuparemos dela no devido momento. Por ora devemos retornar ao tempo de Galileo Galilei e aprendermos os princípios gerais da cinemática.

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Aceleração, Velocidade e Espaço

Por razões que ficarão mais clara ao estudarmos a dinâmica dos corpos, o estudo do processo de cálculo de trajetórias se inicia pelo conceito de aceleração. Graças à revolução industrial, todos nós (ou ao menos a grande maioria de nós) estamos familiarizados com tal conceito físico graças à nossa familiaridade com dois importantes componentes de um automóvel: o velocímetro e o acelerador. Instintivamente sabemos que o primeiro mede a velocidade do carro (que nada mais é do que a taxa de variação temporal do espaço que o carro percorre) enquanto o segundo dispositivo, quando pressionado, aumenta tal velocidade, ou seja, imprime uma aceleração ao automóvel (que nada mais é do que uma taxa de variação temporal da velocidade do carro). Quando pressionado, o breque também irá imprimir uma aceleração ao automóvel, porém no sentido contrário à velocidade, fazendo com que a mesma diminua.

Que tal formalizarmos os conceitos anteriores, desenvolvendo fórmulas matemáticas que descrevam tudo o que estamos estudando ? Comecemos pela definição de aceleração como a taxa de variação temporal da velocidade:

Onde denotamos a variação de uma quantidade pela letra grega Δ (delta). Ou seja:

,

onde os sub-índices “inicial” e “final” se referem aos pontos iniciais e finais da trajetória para a qual estamos calculando a aceleração do corpo (por exemplo, os instantes em que você pressiona e solta o acelerador do automóvel).

A partir de agora iremos supor que temos um movimento com uma aceleração constante, ou seja, um Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.). O análogo de tal situação no nosso exemplo automobilístico seria aquela onde voce mantém o acelerador pressionado numa posição fixa. Analisemos o gráfico aceleração x tempo:

Variação de velocidade representada como a área do gráfico aceleração x tempo.

Podemos notar facilmente que a variação de velocidade é dada pelo produto da aceleração pelo intervalo de tempo transcorrido, ou seja, pela área debaixo da curva de aceleração. Ou seja:

(podemos igualar o tempo inicial a zero simplesmente zerando o cronômetro que estamos utilizando para realizar as medidas de tempo no exato instante em que pisamos no acelerador do carro.)

A equação é denominada equação horária da velocidade. É uma expressão que nos fornece a velocidade de um corpo em um determinado instante de tempo, tendo como parâmetros constantes a velocidade inicial e a aceleração do mesmo. Notem que no caso especial em que a aceleração do corpo é nula (Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.)) a velocidade se mantém constante ao longo de todo o movimento.

Passemos agora à análise do gráfico velocidade x tempo:

Espaço percorrido representado como a área do gráfico velocidade x tempo.

Como a velocidade é a taxa de variação temporal do espaço percorrido, este último pode ser calculado como a área debaixo da curva da velocidade num gráfico velocidade x tempo. Utilizando as conhecidas fórmulas geométricas para o retângulo e o triângulo representados na figura (tais fórmulas são discutidas aqui) teremos:

A equação  é denominada equação horária do espaço. É uma expressão que nos fornece a posição de um corpo em um determinado instante de tempo, tendo como parâmetros constantes a sua posição inicial, a sua velocidade inicial e a aceleração sofrida por ele.

Vamos obter uma última forma antes de encerrarmos nosso trabalho. Me limitarei a guiá-lo em sua obtenção, de maneira que você tenha a oportunidade de treinar sua capacidade de manipulação algébrica. Primeiramente note que as duas expressões previamente obtidas possuem como variável o tempo. No entanto, em nosso estudo sobre o movimento dos corpos podemos nos deparar com algum problema onde o tempo decorrido não aparece diretamente (por exemplo, num problema em que freamos um carro que possui uma determinada velocidade inicial através de uma determinada aceleração negativa e queremos saber o espaço que ele percorre antes de parar completamente). Poderíamos perfeitamente dividirmos o problema em duas partes, primeiramente utilizando a equação horária de velocidade para calcularmos quanto tempo levaria tal brecada e então utilizarmos tal tempo na equação horária do espaço para obtermos o resultado final. Que tal nos pouparmos do trabalho duplo e realizarmos tal substituição agora mesmo, de maneira a obtermos uma terceira expressão que forneça diretamente o resultado desse tipo de problema?

Primeiro passo: Isole a variável t na equação horária da velocidade.

Segundo passo: Substitua o resultado obtido no passo anterior na equação horária do espaço.

Terceiro passo: Realize as manipulações algébricas necessária, expressando a velocidade final de um corpo em função das outras variáveis de uma maneira simples e elegante.

Se você obteve sucesso em todos os passos, deve ter obtido a seguinte expressão:

Conhecida como Equação de Torricelli.

E por hoje ficamos por aqui. Reflita sobre os conceitos que você acabou de aprender. Eles serão impreenscindíveis nos nossos futuros estudos sobre mecânica. Lembre-se, se você quer aprender física direito terá andado 80% do caminho ao aprender mecânica de uma forma eficiente.

Bok Prijatelji !

exercício proposto: Analise o seguinte vídeo, onde um astronauta solta uma pena e um martelo na superfície da lua e verifica que a aceleração imposta em ambos os corpos é idêntica.

Utilizando os conceitos estudados, calcule a aceleração na superfície da lua. Para medir o tempo de queda dos corpos utilize um cronômetro (use este cronômetro virtual se nao possuir um real). Estime a altura que os objetos foram lançados sabendo que o astronauta mede 1,83 m. Calcule o valor obtido com o valor teórico .

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2 Comentários

  1. […] continuaremos nossos estudos sobre mecânica. Como prometido na lição sobre cinemática desta vez iremos nos preocupar com a causa dos movimentos dos corpos. Em nossa jornada pelas leis […]

  2. EU NÃO PQ ESSE IDIOTA,CRIOU ESSE TIPO DE EQUAÇÃO,DECERTO ERA PQ ELE SABIA ENTÃO ELE ACHAVA QUE TODOS DEVERIAM SABER….SE ESSE HOMEN TIVESSE VIVO EU IRIA MATA-LO,ESSE CARA É UM IDIOTA


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