Equação do 1º Grau

مرحبا اصدقاء

Dando continuidade aos nossos estudos sobre álgebra, hoje nos depararemos pela primeira vez com os entes matemáticos denominados polinômios.  Mais especificamente, estaremos lidando com uma subclasse mais restrita denominada monômios. Como é de praxe, que tal nos relembrarmos de alguns conceitos antigos para podermos encaixar outros novos ?

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Plano Cartesiano

Lembram-se de Alice e Bob, os irmãos assopradores de velinhas de aniversário ? Vamos relembrar o sistema de equações que resolvemos para encontrarmos suas idades:

Vamos isolar a idade de Beto na primeira equação:

Tal expressão nos fornece a idade atual de Beto em função da idade de Alice, ou seja, nos diz que Beto terá 30 anos se Alice tiver 5, 25 anos se Alice tiver 10, 20 se Alice tiver 15 e assim por diante. Podemos representar tal relação através de um gráfico:

Onde cada ponto da reta oblíqua representa um par de valores dados, respectivamente, pelas suas coordenadas horizontais e verticais (ou abscissas e ordenadas). Note que a reta cruza os eixos nos pontose. Consegue enxergar o porquê disso ?

Os eixos perpendiculares que utilizamos para representarmos num gráfico a relação entre as possíveis idades dos irmãos é denominado Plano Cartesiano. Ele recebe tal nome em homenagem a René Descartes, um filósofo natural do século XVII cujas contribuições para a ciência e filosofia perduram até os dias de hoje (já ouviram falar de “Penso, logo existo” ?). É creditado a ele a prática de representar pares de números em um plano através de suas posições espaciais. Considerando que a maior parte das informações que recebemos e processamos chega a nós através de nosso córtex cerebral podemos imaginar a importância do plano cartesiano para a melhor visualização de abstratos conceitos matemáticos. Que tal analisarmos um outro exemplo para entendermos melhor o assunto ?

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Coeficientes Angulares e Lineares

Consideremos agora nossa segunda equação:

Utilizaremos um plano cartesiano para melhor enxergarmos as propriedades de tal equação:

Note que desta vez a reta cruza os eixos nos pontos e (verifique que tais pontos satisfazem a equação da reta).

Juntemos as duas retas em um único gráfico afim de estudarmos melhor suas diferenças:

Primeiramente, note que o ponto de interssecção entre as duas retas, , é a solução do nosso problema (Alice com 10 anos e Beto com 25). Isso não é de se espantar, uma vez que o ponto de intersecção entre as retas é o ponto que satisfaz as duas equações simultaneamente. Assim, aprendemos uma segunda maneira de resolver sistemas lineares, através de uma abordagem gráfica.

Vamos agora nos concentrar nas propriedades de cada gráfico. Note que o primeiro se consiste de reta inclinada para cima, ou seja, uma reta crescente, enquanto o segundo se consiste de uma reta inclinada para baixo, ou seja, uma reta decrescente. Tal comportamento é dado pelo sinal do número que multiplica a incógnita, denominado por coeficiente angular. Na primeira equação temos que o coeficiente angular vale -1,  o que faz com que a reta seja decrescente, enquanto na segunda equação temos que o coeficiente angular vale 2, o que faz com que a reta seja crescente. Analisando o primeira gráfico, notamos que a cada quadradinho que nos deslocamos para a direita em cima do gráfico nos deslocamos um quadradinho para baixo. Enquanto isso, no segundo gráfico, temos que a cada quadradinho que andamos para a direita o gráfico anda dois quadradinhos para cima. Quando você visualizar e entender a relação entre os coeficiente angulares e a última sentença você será capaz de extrair o coeficiente angular de qualquer reta representada em um plano cartesiano.

Vamos agora definir um novo conceito, o chamado coeficiente linear. Preste atenção no número que é somado à incógnita multiplicada pelo coeficiente angular. Note que na primeira equação tal número vale 35, enquanto na segunda equação o número correspondente vale 5. Perceba que tais números correspondem à coordenada vertical do ponto onde o gráfico corta o eixo das ordenadas. Isto se dá porque o ponto em que o gráfico corta o eixo vertical é justamente aquele em que a posição horizontal, isto é, a incógnita, vale zero, restando apenas o coeficiente linear para atribuir valores à equação. Note que uma mudança no coeficiente linear de uma equação deslocará o gráfico na direção vertical mudando, assim, o ponto onde ele corta o eixo das ordenadas. Por outro lado, uma mudança no coeficiente angular causará uma mudança na inclinação do mesmo.

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Forma Geral da Equação do 1º Grau

Nossos dois exemplos anteriores são exemplos monômios, cuja forma geral pode ser representada do seguinte modo:

Onde y representa o valor da ordenada, x o valor da abscissa (incógnita), m o coeficiente angular da reta e n o coeficiente linear. Monômios são caracterizados por não possuírem potências de x maiores do que 1, como Quando igualamos tal expressão a zero temos uma equação do 1º grau:

E por hoje finalizamos nossos estudos. Procure fixar muito bem os conceitos de coeficientes lineares e angulares, o que cada um representa, a diferença entre eles, etc… Um domínio eficiente de tais conceitos fundamentais será indispensável em nossos futuros estudos sobre polinômios.

حظ سعيد

exercício proposto: Um carro sai de uma cidade A com uma velocidade constante de 80 Km/h em linha reta, através de uma rodovia que liga a cidade A à cidade B. Um segundo carro sai da cidade B pela mesma rodovia, porém na direção de A, com uma velocidade contante de 100 Km/h. Sabendo que a distância entre A e B é de 360 Km, trace o gráfico espaço x tempo dos dois veículos em um plano cartesiano e descubra em que ponto da estrada eles se encontrarão.

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1 Comentário

  1. aprendi bastante com o seu blog…legal!!xD


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