Equação do 1º Grau

مرحبا اصدقاء

Dando continuidade aos nossos estudos sobre álgebra, hoje nos depararemos pela primeira vez com os entes matemáticos denominados polinômios.  Mais especificamente, estaremos lidando com uma subclasse mais restrita denominada monômios. Como é de praxe, que tal nos relembrarmos de alguns conceitos antigos para podermos encaixar outros novos ?

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Plano Cartesiano

Lembram-se de Alice e Bob, os irmãos assopradores de velinhas de aniversário ? Vamos relembrar o sistema de equações que resolvemos para encontrarmos suas idades:

Vamos isolar a idade de Beto na primeira equação:

Tal expressão nos fornece a idade atual de Beto em função da idade de Alice, ou seja, nos diz que Beto terá 30 anos se Alice tiver 5, 25 anos se Alice tiver 10, 20 se Alice tiver 15 e assim por diante. Podemos representar tal relação através de um gráfico:

Onde cada ponto da reta oblíqua representa um par de valores dados, respectivamente, pelas suas coordenadas horizontais e verticais (ou abscissas e ordenadas). Note que a reta cruza os eixos nos pontose. Consegue enxergar o porquê disso ?

Os eixos perpendiculares que utilizamos para representarmos num gráfico a relação entre as possíveis idades dos irmãos é denominado Plano Cartesiano. Ele recebe tal nome em homenagem a René Descartes, um filósofo natural do século XVII cujas contribuições para a ciência e filosofia perduram até os dias de hoje (já ouviram falar de “Penso, logo existo” ?). É creditado a ele a prática de representar pares de números em um plano através de suas posições espaciais. Considerando que a maior parte das informações que recebemos e processamos chega a nós através de nosso córtex cerebral podemos imaginar a importância do plano cartesiano para a melhor visualização de abstratos conceitos matemáticos. Que tal analisarmos um outro exemplo para entendermos melhor o assunto ?

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Coeficientes Angulares e Lineares

Consideremos agora nossa segunda equação:

Utilizaremos um plano cartesiano para melhor enxergarmos as propriedades de tal equação:

Note que desta vez a reta cruza os eixos nos pontos e (verifique que tais pontos satisfazem a equação da reta).

Juntemos as duas retas em um único gráfico afim de estudarmos melhor suas diferenças:

Primeiramente, note que o ponto de interssecção entre as duas retas, , é a solução do nosso problema (Alice com 10 anos e Beto com 25). Isso não é de se espantar, uma vez que o ponto de intersecção entre as retas é o ponto que satisfaz as duas equações simultaneamente. Assim, aprendemos uma segunda maneira de resolver sistemas lineares, através de uma abordagem gráfica.

Vamos agora nos concentrar nas propriedades de cada gráfico. Note que o primeiro se consiste de reta inclinada para cima, ou seja, uma reta crescente, enquanto o segundo se consiste de uma reta inclinada para baixo, ou seja, uma reta decrescente. Tal comportamento é dado pelo sinal do número que multiplica a incógnita, denominado por coeficiente angular. Na primeira equação temos que o coeficiente angular vale -1,  o que faz com que a reta seja decrescente, enquanto na segunda equação temos que o coeficiente angular vale 2, o que faz com que a reta seja crescente. Analisando o primeira gráfico, notamos que a cada quadradinho que nos deslocamos para a direita em cima do gráfico nos deslocamos um quadradinho para baixo. Enquanto isso, no segundo gráfico, temos que a cada quadradinho que andamos para a direita o gráfico anda dois quadradinhos para cima. Quando você visualizar e entender a relação entre os coeficiente angulares e a última sentença você será capaz de extrair o coeficiente angular de qualquer reta representada em um plano cartesiano.

Vamos agora definir um novo conceito, o chamado coeficiente linear. Preste atenção no número que é somado à incógnita multiplicada pelo coeficiente angular. Note que na primeira equação tal número vale 35, enquanto na segunda equação o número correspondente vale 5. Perceba que tais números correspondem à coordenada vertical do ponto onde o gráfico corta o eixo das ordenadas. Isto se dá porque o ponto em que o gráfico corta o eixo vertical é justamente aquele em que a posição horizontal, isto é, a incógnita, vale zero, restando apenas o coeficiente linear para atribuir valores à equação. Note que uma mudança no coeficiente linear de uma equação deslocará o gráfico na direção vertical mudando, assim, o ponto onde ele corta o eixo das ordenadas. Por outro lado, uma mudança no coeficiente angular causará uma mudança na inclinação do mesmo.

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Forma Geral da Equação do 1º Grau

Nossos dois exemplos anteriores são exemplos monômios, cuja forma geral pode ser representada do seguinte modo:

Onde y representa o valor da ordenada, x o valor da abscissa (incógnita), m o coeficiente angular da reta e n o coeficiente linear. Monômios são caracterizados por não possuírem potências de x maiores do que 1, como Quando igualamos tal expressão a zero temos uma equação do 1º grau:

E por hoje finalizamos nossos estudos. Procure fixar muito bem os conceitos de coeficientes lineares e angulares, o que cada um representa, a diferença entre eles, etc… Um domínio eficiente de tais conceitos fundamentais será indispensável em nossos futuros estudos sobre polinômios.

حظ سعيد

exercício proposto: Um carro sai de uma cidade A com uma velocidade constante de 80 Km/h em linha reta, através de uma rodovia que liga a cidade A à cidade B. Um segundo carro sai da cidade B pela mesma rodovia, porém na direção de A, com uma velocidade contante de 100 Km/h. Sabendo que a distância entre A e B é de 360 Km, trace o gráfico espaço x tempo dos dois veículos em um plano cartesiano e descubra em que ponto da estrada eles se encontrarão.

Cinemática

Bok Prijatelji

Hoje iremos inaugurar nossa seção de física da maneira mais clássica possível: estudaremos o famoso e elementar ramo da mecânica denominado cinemática. Cinemática é uma palavra derivada do radical grego kinema (movimento). Como o próprio nome sugere, não trata de nada mais nada menos do que do estudo do movimento dos corpos materiais. Importante frisarmos de que ela não trata da causa dos movimentos, apenas da descrição dos mesmos. O estudo da causa dos movimentos dos corpos materiais é objetivo de um outro ramo da mecânica denominado dinâmica. Nos ocuparemos dela no devido momento. Por ora devemos retornar ao tempo de Galileo Galilei e aprendermos os princípios gerais da cinemática.

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Aceleração, Velocidade e Espaço

Por razões que ficarão mais clara ao estudarmos a dinâmica dos corpos, o estudo do processo de cálculo de trajetórias se inicia pelo conceito de aceleração. Graças à revolução industrial, todos nós (ou ao menos a grande maioria de nós) estamos familiarizados com tal conceito físico graças à nossa familiaridade com dois importantes componentes de um automóvel: o velocímetro e o acelerador. Instintivamente sabemos que o primeiro mede a velocidade do carro (que nada mais é do que a taxa de variação temporal do espaço que o carro percorre) enquanto o segundo dispositivo, quando pressionado, aumenta tal velocidade, ou seja, imprime uma aceleração ao automóvel (que nada mais é do que uma taxa de variação temporal da velocidade do carro). Quando pressionado, o breque também irá imprimir uma aceleração ao automóvel, porém no sentido contrário à velocidade, fazendo com que a mesma diminua.

Que tal formalizarmos os conceitos anteriores, desenvolvendo fórmulas matemáticas que descrevam tudo o que estamos estudando ? Comecemos pela definição de aceleração como a taxa de variação temporal da velocidade:

Onde denotamos a variação de uma quantidade pela letra grega Δ (delta). Ou seja:

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onde os sub-índices “inicial” e “final” se referem aos pontos iniciais e finais da trajetória para a qual estamos calculando a aceleração do corpo (por exemplo, os instantes em que você pressiona e solta o acelerador do automóvel).

A partir de agora iremos supor que temos um movimento com uma aceleração constante, ou seja, um Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.). O análogo de tal situação no nosso exemplo automobilístico seria aquela onde voce mantém o acelerador pressionado numa posição fixa. Analisemos o gráfico aceleração x tempo:

Variação de velocidade representada como a área do gráfico aceleração x tempo.

Podemos notar facilmente que a variação de velocidade é dada pelo produto da aceleração pelo intervalo de tempo transcorrido, ou seja, pela área debaixo da curva de aceleração. Ou seja:

(podemos igualar o tempo inicial a zero simplesmente zerando o cronômetro que estamos utilizando para realizar as medidas de tempo no exato instante em que pisamos no acelerador do carro.)

A equação é denominada equação horária da velocidade. É uma expressão que nos fornece a velocidade de um corpo em um determinado instante de tempo, tendo como parâmetros constantes a velocidade inicial e a aceleração do mesmo. Notem que no caso especial em que a aceleração do corpo é nula (Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.)) a velocidade se mantém constante ao longo de todo o movimento.

Passemos agora à análise do gráfico velocidade x tempo:

Espaço percorrido representado como a área do gráfico velocidade x tempo.

Como a velocidade é a taxa de variação temporal do espaço percorrido, este último pode ser calculado como a área debaixo da curva da velocidade num gráfico velocidade x tempo. Utilizando as conhecidas fórmulas geométricas para o retângulo e o triângulo representados na figura (tais fórmulas são discutidas aqui) teremos:

A equação  é denominada equação horária do espaço. É uma expressão que nos fornece a posição de um corpo em um determinado instante de tempo, tendo como parâmetros constantes a sua posição inicial, a sua velocidade inicial e a aceleração sofrida por ele.

Vamos obter uma última forma antes de encerrarmos nosso trabalho. Me limitarei a guiá-lo em sua obtenção, de maneira que você tenha a oportunidade de treinar sua capacidade de manipulação algébrica. Primeiramente note que as duas expressões previamente obtidas possuem como variável o tempo. No entanto, em nosso estudo sobre o movimento dos corpos podemos nos deparar com algum problema onde o tempo decorrido não aparece diretamente (por exemplo, num problema em que freamos um carro que possui uma determinada velocidade inicial através de uma determinada aceleração negativa e queremos saber o espaço que ele percorre antes de parar completamente). Poderíamos perfeitamente dividirmos o problema em duas partes, primeiramente utilizando a equação horária de velocidade para calcularmos quanto tempo levaria tal brecada e então utilizarmos tal tempo na equação horária do espaço para obtermos o resultado final. Que tal nos pouparmos do trabalho duplo e realizarmos tal substituição agora mesmo, de maneira a obtermos uma terceira expressão que forneça diretamente o resultado desse tipo de problema?

Primeiro passo: Isole a variável t na equação horária da velocidade.

Segundo passo: Substitua o resultado obtido no passo anterior na equação horária do espaço.

Terceiro passo: Realize as manipulações algébricas necessária, expressando a velocidade final de um corpo em função das outras variáveis de uma maneira simples e elegante.

Se você obteve sucesso em todos os passos, deve ter obtido a seguinte expressão:

Conhecida como Equação de Torricelli.

E por hoje ficamos por aqui. Reflita sobre os conceitos que você acabou de aprender. Eles serão impreenscindíveis nos nossos futuros estudos sobre mecânica. Lembre-se, se você quer aprender física direito terá andado 80% do caminho ao aprender mecânica de uma forma eficiente.

Bok Prijatelji !

exercício proposto: Analise o seguinte vídeo, onde um astronauta solta uma pena e um martelo na superfície da lua e verifica que a aceleração imposta em ambos os corpos é idêntica.

Utilizando os conceitos estudados, calcule a aceleração na superfície da lua. Para medir o tempo de queda dos corpos utilize um cronômetro (use este cronômetro virtual se nao possuir um real). Estime a altura que os objetos foram lançados sabendo que o astronauta mede 1,83 m. Calcule o valor obtido com o valor teórico .

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