Equação do 2º Grau

Hei venner

Hoje continuaremos nossos estudos algébricos abordando as equações quadráticas, ou equações do 2º grau. Durante nossa jornada nos depararemos com uma das fórmulas mais famosas da matemática: a Fórmula de Bháskara. Porém temos um longo caminho a trilhar para compreendermos as origens de tal procedimento matemático. Iniciaremos, como é de praxe, com um problema já conhecido por nós, para então darmos um passo adiante e alargarmos nossa visão do universo da matemática.

 

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Quadrando expressões…

A equação do segundo grau é uma equação que envolve um polinômio de grau 2, ou seja, uma soma de potências de uma variável onde o grau máximo vale 2:

Como ainda não possuímos um algoritmo para resolver tal polinômio, ou seja. encontrar os valores de x para os quais a expressão se anula (), iremos abordar o problema a partir de um terreno conhecido. Consideremos o monômio:

O nosso objetivo será transformar tal monômio, através de espertas manipulações algébricas e uma escolha apropriada dos coeficientes α e β, no polinômio da seguinte equação do 2º grau:

Um primeiro passo natural será quadrarmos o monômio, ou seja, o multiplicarmos por ele mesmo:

Note que podemos colocar em evidência um fator comum aos dois primeiros termos de tal expressão:

de forma que o termo entre parênteses é muito similar aos dois primeiros termos da equação do segundo grau que queremos obter (), a menos de um fator 2 multiplicando o segundo termo. Assim, realizando a seguinte mudança de variáveis:

teremos:

Agora que temos uma expressão que relaciona os dois primeiros termos da equação do segundo grau com o quadrado de um monômio, podemos utilizá-la para reescrevermos tal equação de uma maneira mais apropriada:

À expressão da direita é usualmente dado o nome de discriminante, representado pela letra grega Δ (delta):

Para isolarmos a incógnita x, devemos nos utilizar da seguinte propriede das equações quadráticas:

(devido ao fato de que um número negativo ao quadrado se torna positivo, o que faz com que tenhamos dois valores de m que satisfaçam a equação).

Assim teremos:

Ou seja, temos dois valores de x que satisfazem a equação :

.-..

Um gráfico vale mais do que mil equações

Que tal darmos uma olhada na representação gráfica de um desses tais polinômios de segundo grau ?

Note como o valor corresponde ao eixo central do gráfico (que, aliás, recebe o nome de parábola). Note também que as raízes do polinômio, ou seja, os valores onde o gráfico corta o eixo horizontal () estão a uma distância do eixo central, tanto para a esquerda quando para a direita. O menor valor que y atinge é aquele que se obtém ao susbstituir o valor no polinômio. Ele vale (verifique isso !).

Para valores negativos do parâmetro a, teremos uma parábola com concavidade negativa, ou seja, voltada para baixo:

Dependendo do valor do discriminante Δ, poderemos ter a parábola cortando o eixo das abscissas em dois, um ou nenhum ponto (por quê ?):

 

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Soma e Produto

Ao somarmos ou multiplicarmos entre si as duas raízes de uma equação do segundo grau, obteremos expressões interessantes relacionando tais somas e produtos com os coeficientes a, b e c da equação. Vamos a elas:

Dessa forma, descobrimos um novo jeito, bastante útil, de resolvermos uma equação do segundo grau rapidamente. Basta encontrarmos dois números cuja soma seja igual a -b/a e cujo produto seja igual a c/a. Tais números serão as raízes procuradas. 

Que tal agora reescrevermos nosso polinômio do segundo grau utilizando as relações recém-obtidas ?

Note como tal forma de escrever um polinômio do segundo grau nos mostra claramente que ele se anula quando o valor de x é idêntico a uma de suas duas raízes. 

E isso encerra nosso estudo sobre os tópicos mais importantes relacionados a este importante polinômio (e a equação do segundo grau correspondente). Para consolidar o que aprendeu aconselho a repetir todas as passagens que você não tiver certeza de ter assimilado nesta aula. Treine os métodos de resolução em diferentes equações do segundo grau. Descubra em quais situações um método é mais fácil de ser utilizado do que outro. Trace gráficos de diversos polinômios do segundo grau, identificando os pontos mais relevantes (ponte onde o gráfico corta os dois eixos, por exemplo). Calcule analiticamente tais pontos e confira em seu gráfico. Quanto mais familiar você estiver com estes polinômios mais rapidamente você resolverá problemas relacionados a ele (Imagine resolver de cabeça uma equação do segundo grau apenas utilizando soma e produto ou invés de perder alguns minutos utilizando a  extensa fórmula de Bhaskara).

Lykke til

 

exercício proposto: Construa o gráfico dos seguintes polinômios do segundo grau, identificando suas raízes e o ponto mais alto (ou baixo) da parábola. 

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14 Comentários

  1. gostaria de alguns exemplos de equaçao do 2º grau resolvidas com numeros.

  2. x=15.34

    victork eafkkla

  3. Oiie estou na 8ª série e estou começandu a estudar a equação de 2° grau mas toda vez que o professor tenta me explicar eu ñ consigo entender por favor me ajude quero muito aprender.

    Obrigada .pela atenção.!

  4. eu achei muito enterresante tudo isso continuem pondo na rede pois é muito bom parabens pelo trabalho.

  5. eu tbm num consigo APRENDE

  6. É MUITO DIFICIL!!!

  7. HA

  8. HA

  9. gostaria que vc respondese estas questões para mim pois eu não consigui resolve-las, porem eu gostaria que vc respondese elas e enviase para mim a resolução em numeros para que eu possa copia-las obrigado.

    1- discutir em função dos valores de m a quantidade de zeros da função f(x) = x² -3x +m.

    2- considere a função f(x) = -3x² +2x -2 e obtenha:
    a) o valor da função para x = -2.
    b) o(s) valor (es) de x para os quais f(x) assume valor igual a -2.

    3- na função f(x) = x² -4x +3m +2 = 0, para quais valores de m o produto dos “zeros” é igual a -7?

    4- calcule m, de modo que a soma dos zeros da função f(x) = mx² -4x +6 seja igual a 2.

    5- a soma dos inversos dos “zeros” da função f(x) = x² -5x +k = 0 é igual a -1. qual o valor de k?

  10. Problema:

    Enzo e Lais colheram 162 laranjas. Dividir de modo que Enzo fique com 10 a mais.

    Pergunta:

    Como colocar em uma formula?

    • E + L = 162
      E = L + 10

      • E+L=162
        E=L+10
        Logo:
        2L+10=162 donde L=162-10/2
        ou L=76 e E=76 + 10 ou
        E= 86

      • E + L = 162 E + L = 162 Verificação:
        L + 10 + L = 162 E + 76 = 162 76 + 86 = 162
        L + L + 10 = 162 E = 162 – 76
        2L = 162 – 10 E = 86
        2L = 152
        L = 152 : 2
        L = 76

  11. oi como vai seu professor de muito talento parabéns


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